Kubische Gleichungen ► Einführungsbeispiel

Kurzbeschreibung der drei Schritte des Lösungsverfahrens:
1. Man bringt die linke Seite der gegebenen Gleichung auf die Form des 1.Kubischen Binoms.
Dies gelingt, doch müssen wir dazu einen Preis bezahlen: Die Variable y kommt hinzu.
2. Wir haben nun ein Gleichungssystem mit zwei Variablen x und y (wobei sich x in der Variablen z=x+y) versteckt. Löse dieses System, um y zu erhalten.
3. Ist y bekannt, dann kann daraus ganz einfach x berechnet werden.
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Übungsaufgaben I (reduzierte Gleichungen 3.Grades):
► x^3 - 2997*x - 61236 = 0 Lösungen: -36, -27, 63
► x^3 - 7/3*x - 20/27 = 0 Lösungen: -4/3 und -1/3 und 5/3
► x^3 - 3*x + 2 = 0 Lösungen: -2 und 1 (mit Vielfachheit 2, d.h. x=1 ist doppelte Lösung)
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Übungsaufgaben II (hier muss vorher noch reduziert werden):
Wenn x³+ax²+bx+c=0 dann kann man die Gleichung durch die Substitution x=z-(a/3) reduzieren
► x^3 - 1*x^2 + 1*x - 1 = 0 Lösungen: 1, i, -i
► x^3 - 3*x^2 + 3*x - 1 = 0 Lösung: 1 (mit Vielfachheit 3)
► x^3 + 1*x^2 - 1*x - 1 = 0 Lösungen: -1 und 1 (Vielfachheit 2)
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